Sejarah Integral

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) adalah seorang ilmuwan, filsuf, matematikawan, diplomat, pustakawan, dan pengacara berkebangsaan Jerman keturunan Sorb.  Beliau secara umum dengan Newton bersama-sama diberi penghargaan atas perannya dalam mengembangkan kalkulus modern, khususnya dalam pengembangannya tentang “integral”. Menurut catatannya, terobosan sangat penting terjadi pada tanggal 11 November 1675 ketika ia mendemonstrasikan kalkulus integral untuk pertama kalinya untuk menghitung luas daerah dibawah fungsi y = x. Ia memperkenalkan beberapa notasi dalam kalkulus yang tetap digunakan sampai sekarang, sebagai contoh simbol integral  , yang merupakan modifikasi dari huruf S, diambil dari kata ”Summa” dan penggunaan huduf  ”d” untul differensial (turunan) dari kata Latin ”differentia”.

Persamaan Linear Terbadai

Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 1 kg anggur adalah Rp. 70.000,00. Harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk dan 2 kg anggur adalah Rp. 90.000,00. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 3 kg anggur adalah Rp. 130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah ….
a. Rp 5.000,00
b. Rp 7.500,00
c. Rp 10.000,00
d. Rp 12.000,00

e. Rp 15.000,00

Postulat Badai Teacher Vs Euclid

Salah satu anggapan yang sering kali muncul dalam matematika adalah matematika hanya memiliki sebuah jawaban tunggal.
Anggapan tersebut berimbas pada sepupu saya yang masih duduk di Sekolah Dasar. Pada suatu hari tante saya mengisahkan bahwa anaknya disalahkan karena mengatakan 4 x 5 sebagai ada 5 bilangan 4. Gurunya bersikeras bahwa 4 x 5 adalah ada 4 bilangan 5. Agar belajar matematika menjadi mudah, mungkin pengajaran dilakukan dengan memandang angka didepan sebagai banyaknya jumlah bilangan yang hendak dijumlahkan, sehingga 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5, namun hal yang terlupa adalah bahwa perkalian memiliki sifat komutatif( a x b = b x a), sehingga kalaupun pendekatan tersebut mau diterapkan maka berlaku juga hubungan sebagai berikut: 5 + 5 + 5 + 5 = 4 x 5 = 5 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4.
Dalam bentuk yang lebih gamblang, adanya beragam jawaban dalam sebuah persoalan tampak pada postulat paralel Euclid. Postulat yang juga dikenal sebagai postulat yang kelima ini berbunyi: jika sebuah garis berpotongan dengan dua garis lurus membentuk dua sudut interior pada sisi yang sama dengan jumlah kurang dari jumlah sudut sisi kanannya, maka kedua garis tersebut, jika diperpanjang tak hingga, akan berpotongan satu sama lain dengan jumlah (derajat) sudut lebih kecil dibandingkan jumlah sudut sisi kanannya.
Hal yang menarik dari postulat ini adalah implikasi yang memunculkan geometri non-Euclidan sebagai ’lawan’ dari geometri Euclid yang menganalisa garis lurus. Geometri non-Euclid mendeskripsikan hiperbola dan geometri eliptic(bidang lengkung), dan kehadiran geometri ini tidak serta merta menegasikan bangunan geometri yang ada sebelumnya, melainkan menjadikan geometri menjadi lebih utuh. Salah satu penerapan dari geometri non-Euclid ini tampak pada Teori Relativitas Einstein.

Ilmuwan-Ilmuwan Matematika Terbadai

Isaac Newton
(1642 - 1727)
Gravitasi tidak akan diperhatikan orang tanpa peran Newton. Ilmu kimia yang semula dianggap seperti ilmu “sihir” di tangan Newton menjadi disiplin ilmu kimia setelah melewati tahapan alkimia. Kaitan antara gaya, massa dan percepatan dalam diubah Newton menjadi persamaan matematik. Tonggak-tonggak sains dibentuk oleh Newton sebelum dikembangkan oleh pakar-pakar lainnya sampai dirombak oleh Einstein lewat teori relativitas yang fenomental.
Ketiga hukumnya terutama hukum tentang gaya (aksi dan reaksi) dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena alam. Ide kalkulus berawal dari Newton, meskipun karena kurang sabar dan karyanya lebih banyak disimpan, maka Leibniz muncul dengan ide lebih brilian dan notasi yang familia.

Pythagoras
(580 - 475 SM)
Penemuan Pythagoras dalam bidang musik dan matematika tetap hidup sampai saat ini. Theorema Pythagoras tetap diajarkan di sekolah-sekolah dan digunakan untuk menghitung jarak suatu sisi segitiga. Sebelum Pythagoras belum ada pembuktian atas asumsi-asumsi. Pythagoras adalah orang pertama yang mencetuskan bahwa aksioma-aksioma, postulat-postulat perlu dijabarkan terlebih dahulu dalam mengembangkan geometri.
Manfaat ini, kelak, membuat matematika tetap dapat digunakan sebagai alat bantu dalam melakukan perhitungan terhadap pengamatan terhadap fenomena-fenomena alam, setelah melalui pengembangan dan penyempurnaan oleh para matematikawan setelah Pythagoras. Theorema Pythagoras mendasari adanya theorema Fermat (tahun 1620): xn + yn = zn yang baru dapat dibuktikan oleh Sir Andrew Wiles pada tahun 1994

Pascal Pascal
(1623 – 1662)
"Matematikawan religius sekaligus seorang penjudi"

Teori probabilitas barangkali dapat disebut sebagai sumbangsih terbesar Pascal, meski kita tidak boleh mengabaikan peran Fermat. Mesti awalnya untuk membantu ayahnya menghitung penerimaan pajak, mesin hitung buatan Pascal sangatlah terkenal karena kemudian menjadi cakal-bakal pengembangan mesin hitung serupa seperti yang akan dibuat oleh Leibniz. Segitiga Pascal – terlepas dari tujuan utamanya menghitung probabilitas dalam bertaruh - memudahkan kita menghitung hasil persamaan kuadrat, pangkat tiga, pangkat empat dan seterusnya.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
.
.
.
Umur 19 tahun, mesin hitung buatan Pascal mampu membuat orang jaman itu berdecak kagum, namun tidak layak diproduksi massal karena biaya produksinya terlalu tinggi. Mesin hitung ini kemudian dikembangkan lagi oleh Leibniz. Dalam bidang fisika, Pascal memberi beberapa sumbangsih, teristimewa dalam bidang hidrostatik. Eksperimen dengan menggunakan tabung adalah buktinya.

Pierre Simon Laplace
(1749– 1827)
Balada Anak Petani, Matematikawan dan Bangsawan

Matematika fisika dapat disebut sebagai kiprah pertama Laplace dalam menggunakan matematika untuk penerapan. Transformasi Laplace – mengabadikan nama Laplace - digunakan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan diferential dan menentukan respons gelombang (oscillator) harmonik bagi sinyal masukan (input). Dalam riwayat Laplace tampaknya dituntut suatu keberpihakan seorang ilmuwan apabila terjadi perubahan

Matematika Itu.....Apa Sih?

1. Aneh kedengarannya, kekuatan matematika terletak pada pengingkaran semua pikiran tidak lazim dan operasi-operasi mental yang tersimpan secara indah.
"Strange as it may sound, the power of mathematics rests on its evasion of all unnecessary thought and on its wonderful saving of mental operasions"
2. Kita semua mengenal kebenaran, bukan melulu berdasarkan alasan tetapi juga dengan hati.
"We know the truth, not only by the reason, but by the heart"
3. Saya tidak mengetahui apapun yang mungkin tampak dalam dunia ini; tapi bagi saya pribadi, saya seolah-olah hanya seorang anak kecil bermain di pantai, dan menemukan sebuah batu cantik atau sepotong kulit kerang indah, sedangkan besarnya lautan kebenaran tetap belum ditemukan sebelum saya.
“I do not know what may appear to the world; but to myself I seem to have been only like a boy playing on the seashore, and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary, whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me"
4. Matematikawan, membawa simbol-simbol berjibun, bergulat terus dengan kebenaran formal tulen, akan mencapai hasi-hasil penting tak berkesudahan bagi penggambaran tentang alam semesta secara fisik
"The mathematician, carried along on his flood of symbols, dealing apparently with purely formal truth, may still reach results of endless importance for our description of the physical universe"
5. Saya mempunyai banyak ide dan barangkali seseorang yang menggunakannya pada suatu saat nanti lebih memahami daripada saya dan bergabung dengan kecerdasan mereka bagi pekerjaaan saya.
"I have so many ideas that may perhaps be of some use in time if others more penetrating than I go deeply into them some day and join the beauty of their minds to the labor of mine"
6. Terdapat tiga hal besar di dalam dunia ini yaitu: ada agama, ada sains dan ada gosip.
"There are three great things in the world: there is religion, there is science, and there is gossip"

Problem Matematika Di Dunia

Suatu problem matematika mampu merangsang otak-otak kreatif untuk berusaha menemukan solusi, namun apa yang diperoleh terkadang jauh dari harapan. Bukan berarti hasil sampingan (by-product) ini tidak berguna, justru hal ini akan memperkaya khasanah matematika.
1. Keselarasan (compatibility) aksioma-aksioma dalam aritmatika
2. Kesamaan isi dari dua tetrahera yang mempunyai alas dan tinggi sama
3. Problem garis lurus sebagai jarak terpendek antara dua titik
4. Konsep transformasi kelompok (grup) berkesinambungan tanpa asumsi yang dapat berbedaa (differentiability) dari fungsi-fungsi dalam kelompok dari Lie.
5. Perlakuan matematikal terhadap aksioma-aksioma dalam fisika.
6. Bilangan-bilangan irrasional dan transenden tertentu
7. Problem bilangan-bilangan prima
8. Pembuktian dari hukum umum ketimbalbalikkan (reciprocity) dari berbagai bilangan dalam bidang.
9. Determinasi dari solvabilitas persamaan Diophantus
10. Bentuk-bentuk kuadratik dengan koefisien-koefisien aljabarik numerikal
11. Perluasan theorema Kronecker pada bidang Abelian bagi rasionalitas dalam lingkup aljabarik.
12. Ketidakmungkinan mencari solusi persamaan untuk dalam bentuk pangkat tujuh dengan menggunakan fungsi-fungsi yang mempunyai dua argumen.
13. Pembuktian terbatasnya sistem fungsi-fungsi lengkap tertentu
14. Dasar tak terbantahkan dari kalkulus enumeratif Schubert
15. Problem topologi dari kurva-kurv dan permukaan-permukaan aljabarik.
16. Ekspresi bentuk-bentuk tertentu dari persegi panjang
17. Membangun ruang dari polyhedra congruent
18. Apakah solusi untuk problem-problem umum dalam variasi kalkulus selalu membutuhkan analitik
19. Problem umum nilai-nilai batas
20. Bukti keberadaan persamaan-persamaan diferensial linier mempunyai kelompok monodromik yang sudah dijabarkan
21. Penyeragaman relasi-relasi analitik dalam fungsi-fungsi otomorphik
22. Pengembangan lebih lanjut metode variasi-variasi kalkulus

Temuan Matematika Terbadai

Fibonacci
"Problem Kelinci dan Deret Fibonacci"
Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.

“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”

- Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.
- Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.
- Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.
- Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.
Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075.
Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.

Deret Fibonacci
Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat adalah Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci – tidak mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda – yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang Islam dan menjadi matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya.

Deret Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.

Pythagoras
"Angka adalah “dewa”
Matematika dan “mitos-mitos” palsu tentang angka tidak dapat dipisahkan. Setiap angka adalah simbol atau melambangkan sesuatu yang terkait dengan metafisik adalah hal lumrah di Cina. Pythagoras pun tidak luput dari “perangkap” mitos tentang angka. Dia mengajarkan bahwa: angka satu untuk alasan, angka dua untuk opini, angka tiga untuk potensi, angka empat untuk keadilan, angka lima untuk perkawinan, angka tujuh untuk rahasia agar selalu sehat, angka delapan adalah rahasia perkawinan. Angka genap adalah wanita dan angka ganjil/gasal adalah pria. “Berkatilah kami, angka dewa,” adalah kutipan dari para pengikut Pythagoras yang memberi perlakuan khusus terhadap angka empat,”yang menciptakan dewa-dewa dan manusia, O tetraktys suci yang mengandung akar dan sumber penciptaan yang berasal dari luar manusia.
Pemujaan angka seperti layaknya tukang sihir dengan bola kristalnya barangkali – di kemudian hari, mendasari para matematikawan setelah Pythagoras. Ucapan Plato “Tuhan memahami geometri” atau kutipan Galileo “Buku terbesar tentang alam ditulis dengan simbol-simbol matematika.” Apakah itu termasuk ilmu sihir atau matematika. Yang jelas matematika lebih sulit untuk dipahami.
Hubungan matematika dengan musik dekat sekali. Tidaklah mengherankan apabila Pythagoras juga mampu menjadi seorang musisi. Mitos bilangan Pythagoras terkandung lewat “keajabiban” pentagram. Bentuk segi-lima yang makin lama makin kecil sampai takterhingga.

Omar Khayyam
Matematika Arab dapat dibagi ke dalam 4 kategori:
1. Aritmatika yang dianggap merupakan turunan dari India dan didasarkan pada prinsip posisi.
2. Aljabar, meskipun berasal dari Yunani, Hindu dan sumber-sumber lain di Babylonia, akan tetapi di tangan para pakar Muslim diubah menjadi mempunyai karakteristik baru dan lebih sistimatis.
3. Trigonometri, dengan ramuan utama dari Yunani, tetapi oleh bangsa Arab dan ditangani menurut cara Hindu, menjadi mempunyai lebih banyak fungsi-fungsi dan rumus-rumus. Kategori ini menjadi dikenal karena peran ibn-Yunus (meninggal tahun 1008) dan Alhazen, keduanya dari Mesir, mengenalkan rumus 2cos x cos y = cos (x + y) + cos (x - y). Salah satu rumus penjumlahan ini yang sangat besar pengaruhnya bagi perkembangan matematika pada umumnya dan trigonometri pada khususnya pada abad 16, sebelum ditemukan logaritma.
4. Geometri yang juga berasal dari Yunani tetapi di tangan bangsa Arab digeneralisasi di sana-sini sampai mengkristal seperti bentuknya sekarang ini. Kategori ini, setelah era Alhazen, dikembangkan ilmuwan Timur tapi oleh orang Barat lebih dikenal sebagai penyair, yaitu Omar Khayyam.